基于用户投票的六大排名算法研究

随着互联网的发展，网站的数量也在随着成倍的增加着，就中国的互联网来说，根据中国互联网信息中心的数据显示，目前中国的网站数量每半年都会以接近10%的数量增长。这些大量的网站涌现，也就意味着我们已进入了“信息大爆炸”的时代。

而如今用户担心的已不再是信息太少，而是信息太多。如何从大量信息之中，快速有效地找出最重要的内容，成了互联网的一大核心问题。所以各种各样的排名算法，已成为目前过滤信息的主要手段之一，尤其是搜索引擎的排名。在对信息进行排名的同时，也就意味着将信息按照重要性依次排列，并且及时进行更新。排列的依据，可以基于信息本身的特征，也可以基于用户的投票，即让用户决定，什么样的信息可以排在第一位。

下面，我将借助马海祥博客的平台整理和分析一些基于用户投票的排名算法，跟大家共同分享一下：

一、Delicious和Hacker News排名算法

1、Delicious排名算法

Delicious是提供了一种简单共享网页的方法，它为无数互联网用户提供共享及分类他们喜欢的网页书签。

对于最初的信息排名来说，最直觉、最简单的算法，莫过于按照单位时间内用户的投票数进行排名。得票最多的项目，自然就排在第一位。

旧版的Delicious，有一个“热门书签排行榜”，就是这样统计出来的，如下图所示：

它按照“过去60分钟内被收藏的次数”进行排名。每过60分钟，就统计一次。

Delicious算法的优点是：比较简单、容易部署、内容更新相当快；

Delicious算法的缺点是：一方面，排名变化不够平滑，前一个小时还排名靠前的内容，往往第二个小时就一落千丈，另一方面，缺乏自动淘汰旧项目的机制，某些热门内容可能会长期占据排行榜前列。

2、Hacker News排名算法

Hacker News是一个网络社区，可以张贴链接，或者讨论某个主题，如下图所示：

每个帖子前面有一个向上的三角形，如果你觉得这个内容很好，就点击一下，投上一票。根据得票数，系统自动统计出热门文章排行榜。但是，并非得票最多的文章排在第一位，还要考虑时间因素，新文章应该比旧文章更容易得到好的排名。

Hacker News使用Paul Graham开发的Arc语言编写。它的排名算法的实现的方法如下图所示：

将上面的代码还原为数学公式就是：

P表示帖子的得票数，减去1是为了忽略发帖人的投票。

T表示距离发帖的时间（单位为小时），加上2是为了防止最新的帖子导致分母过小（之所以选择2，可能是因为从原始文章出现在其他网站，到转贴至Hacker News，平均需要两个小时）。

G表示"重力因子"（gravityth power），即将帖子排名往下拉的力量，默认值为1.8，后文会详细讨论这个值。

从这个公式来看，决定帖子排名有三个因素：

第一个因素是得票数P

在其他条件不变的情况下，得票越多，排名越高，如下图所示：

从上图可以看到，有三个同时发表的帖子，得票分别为200票、60票和30票（减1后为199、59和29），分别以黄色、紫色和蓝色表示。在任一个时间点上，都是黄色曲线在最上方，蓝色曲线在最下方。

如果你不想让“高票帖子”与“低票帖子”的差距过大，可以在得票数上加一个小于1的指数，比如(P-1)^0.8。

第二个因素是距离发帖的时间T

在其他条件不变的情况下，越是新发表的帖子，排名越高。或者说，一个帖子的排名，会随着时间不断下降。

从前一张图可以看到，经过24小时之后，所有帖子的得分基本上都小于1，这意味着它们都将跌到排行榜的末尾，保证了排名前列的都将是较新的内容。

第三个因素是重力因子G

它的数值大小决定了排名随时间下降的速度。

从上图可以看到，三根曲线的其他参数都一样，G的值分别为1.5、1.8和2.0。G值越大，曲线越陡峭，排名下降得越快，意味着排行榜的更新速度越快。

马海祥博客点评：知道了Delicious和Hacker News是算法构成，就可以调整参数的值，以适用你自己的应用程序。

二、Reddit算法排名

对于Hacker News的排名算法，它的特点是用户只能投赞成票，但是很多网站还允许用户投反对票。就是说，除了好评以外，你还可以给某篇文章差评。如下图的Reddit社区所示：

Reddit是美国最大的网上社区，它的每个帖子前面都有向上和向下的箭头，分别表示“赞成”和“反对”。用户点击进行投票，Reddit根据投票结果，计算出最新的“热点文章排行榜”。

那么怎样才能将赞成票和反对票结合起来，计算出一段时间内最受欢迎的文章呢？如果文章A有100张赞成票、5张反对票，文章B有1000张赞成票、950张反对票，谁应该排在前面呢？这就需要我们来仔细的分析一下Reddit排名算法的工作原理了。

Reddit的程序是开源的，使用Python语言编写。排名算法的代码大致如下图所示：

这段代码考虑了这样几个因素：

（1）、帖子的新旧程度t

t = 发贴时间 - 2005年12月8日7:50:50

t的单位为秒，用unix时间戳计算。不难看出，一旦帖子发表，t就是固定值，不会随时间改变，而且帖子越新，t值越大。至于2005年12月8日，应该是Reddit成立的时间。

（2）、赞成票与反对票的差x

x = 赞成票 - 反对票

（3）、投票方向y

y是一个符号变量，表示对文章的总体看法。如果赞成票居多，y就是+1；如果反对票居多，y就是-1；如果赞成票和反对票相等，y就是0。

（4）、帖子的受肯定（否定）的程度z

z表示赞成票与反对票之间差额的绝对值。如果对某个帖子的评价，越是一边倒，z就越大。如果赞成票等于反对票，z就等于1。

结合以上的几个变量，我们可以得出Reddit的最终得分计算公式如下：

对于这个公式马海祥觉得又可以分成两个部分来讨论：

1、

这个部分表示，赞成票与反对票的差额z越大，得分越高。

需要注意的是，这里用的是以10为底的对数，意味着z=10可以得到1分，z=100可以得到2分。也就是说，前10个投票人与后90个投票人（乃至再后面900个投票人）的权重是一样的，即如果一个帖子特别受到欢迎，那么越到后面投赞成票，对得分越不会产生影响。

当赞成票等于反对票，z=1，因此这个部分等于0，也就是不产生得分。

2、

这个部分表示，t越大，得分越高，即新帖子的得分会高于老帖子。它起到自动将老帖子的排名往下拉的作用。

分母的45000秒，等于12.5个小时，也就是说，后一天的帖子会比前一天的帖子多得2分。结合前一部分，可以得到结论，如果前一天的帖子在第二天还想保持原先的排名，在这一天里面，它的z值必须增加100倍（净赞成票增加100倍）。

y的作用是产生加分或减分。当赞成票超过反对票时，这一部分为正，起到加分作用；当赞成票少于反对票时，这一部分为负，起到减分作用；当两者相等，这一部分为0。这就保证了得到大量净赞成票的文章，会排在前列；赞成票与反对票接近或相等的文章，会排在后面；得到净反对票的文章，会排在最后（因为得分是负值）。

马海祥博客点评：这种算法的一个问题是，对于那些有争议的文章（赞成票和反对票非常接近），它们不可能排到前列。假定同一时间有两个帖子发表，文章A有1张赞成票（发帖人投的）、0张反对票，文章B有1000张赞成票、1000张反对票，那么A的排名会高于B，这显然不合理。

结论就是，Reddit的排名，基本上由发帖时间决定，超级受欢迎的文章会排在最前面，一般性受欢迎的文章、有争议的文章都不会很靠前。这决定了Reddit是一个符合大众口味的社区，不是一个很激进、可以展示少数派想法的地方。

三、Stack Overflow排名算法

对于Reddit的排名算法，它的特点是用户可以投赞成票，也可以投反对票。也就是说，除了时间因素以外，只要考虑两个变量就够了。

但是，还有一些特定用途的网站，必须考虑更多的因素。而程序员问答社区Stack Overflow，就是这样一个网站。

你在上面提出各种关于编程的问题，等待别人回答。访问者可以对你的问题进行投票（赞成票或反对票），表示这个问题是不是有价值。如下图所示：

一旦有人回答了你的问题，其他人也可以对这个回答投票（赞成票或反对票）。

排名算法的作用是，找出某段时间内的热点问题，即哪些问题最被关注、得到了最多的讨论。

在Stack Overflow的页面上，每个问题前面有三个数字，分别表示问题的得分、回答的数目和该问题的浏览次数。以这些变量为基础，就可以设计算法了。

其创始人之一的Jeff Atwood，曾经在几年前，公布过排名得分的计算公式如下：

写成php代码，就是下面这样：

各个算法变量的含义如下：

1、Qviews（问题的浏览次数）

某个问题的浏览次数越多，就代表越受关注，得分也就越高。这里使用了以10为底的对数，用意是当访问量越来越大，它对得分的影响将不断变小。

2、Qscore（问题得分）和Qanswers（回答的数量）

首先，Qscore（问题得分）= 赞成票-反对票。如果某个问题越受到好评，排名自然应该越靠前。

Qanswers表示回答的数量，代表有多少人参与这个问题。这个值越大，得分将成倍放大。这里需要注意的是，如果无人回答，Qanswers就等于0，这时Qscore再高也没用，意味着再好的问题，也必须有人回答，否则进不了热点问题排行榜。

3、Ascores（回答得分）

一般来说，“回答”比“问题”更有意义。这一项的得分越高，就代表回答的质量越高。

但是马海祥感觉，简单加总的设计还不够全面。这里有两个问题。首先，一个正确的回答胜过一百个无用的回答，但是，简单加总会导致，1个得分为100的回答与100个得分为1的回答，总得分相同。其次，由于得分会出现负值，因此那些特别差的回答，会拉低正确回答的得分。

4、Qage（距离问题发表的时间）和Qupdated（距离最后一个回答的时间）

改写一下，可以看得更清楚：

Qage和Qupdated的单位都是秒。如果一个问题的存在时间越久，或者距离上一次回答的时间越久，Qage和Qupdated的值就相应增大。也就是说，随着时间流逝，这两个值都会越变越大，导致分母增大，因此总得分会越来越小。

马海祥博客点评：Stack Overflow热点问题的排名，与参与度（Qviews和Qanswers）和质量（Qscore和Ascores）成正比，与时间（Qage和Qupdated）成反比。

四、牛顿冷却定律

牛顿冷却定律原是用于物理学的，本意是指温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递系数。

但伴随着互联网信息的日益增多，这种定律也四、适用于最新文章的展示排名情况。根据用户的投票，决定最近一段时间内的“热文排名”。

你可能会觉得，这是一个全新的课题。但是，实际上不是。我们可以把“热文排名”想象成一个“自然冷却”的过程：

1、任一时刻，网站中所有的文章，都有一个“当前温度”，温度最高的文章就排在第一位。

2、如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。

3、随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐“冷却”。

这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立“温度”与“时间”之间的函数关系，轻松构建一个“指数式衰减”（Exponential decay）的过程。

伟大的物理学家牛顿，早在17世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作“牛顿冷却定律”（Newton's Law of Cooling）。我们不妨就用这个定律构建排名算法。

如果用一句话概况“牛顿冷却定律”的话，那就是：物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。我们把它写成数学公式就是：

解读公式可知：

- T(t)是温度（T）的时间（t）函数。微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。

- H代表室温，T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。

- 常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。

这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T(t)的函数表达式。

第一步，改写方程，然后等式两边取积分。

第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。

第三步，假定在时刻t0，该物体的温度是T(t0)，简写为T0。代入上面的方程，得到：

第四步，将上一步的C代入第二步的方程。

假定室温H为0度，即所有物体最终都会“冷寂”，方程就可以简化为：

上面这个方程，就是我们想要的最终结果：

本期温度 = 上一期温度 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

将这个公式用在"排名算法"，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）

本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

其中，“冷却系数”是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后“冷却”为1分，那么可以计算得到“冷却系数”约等于0.192。如果你想放慢“热文排名”的更新率，“冷却系数”就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。

五、威尔逊区间排名算法

上述的介绍，我们已经讨论了如何给出“某个时段”的排名，比如“过去24小时最热门的文章”。但是，很多的时候我们也需要“所有时段”的排名，比如“最受用户好评的产品”等等。

这时，时间因素就不需要考虑了。那么我们该如何给出排名呢？

一种常见的错误算法是：得分 = 赞成票 - 反对票

假定有两个项目，项目A是60张赞成票，40张反对票，项目B是550张赞成票，450张反对票。请问，谁应该排在前面？按照上面的公式，B会排在前面，因为它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是实际上，B的好评率只有55%（550 / 1000），而A为60%（60 / 100），所以正确的结果应该是A排在前面。

Urban Dictionary就是这种错误算法的实例：

另一种常见的错误算法是：得分 = 赞成票 / 总票数

如果“总票数”很大，这种算法其实是对的。问题出在如果“总票数”很少，这时就会出错。假定A有2张赞成票、0张反对票，B有100张赞成票、1张反对票。这种算法会使得A排在B前面。这显然错误。

Amazon就是这种错误算法的实例：

那么，正确的算法是什么呢？

我们先做如下设定：

（1）、每个用户的投票都是独立事件。

（2）、用户只有两个选择，要么投赞成票，要么投反对票。

（3）、如果投票总人数为n，其中赞成票为k，那么赞成票的比例p就等于k/n。

如果你熟悉统计学，可能已经看出来了，这是一种统计分布，叫做“二项分布”（binomial distribution）。这很重要，下面马上要用到。

我们的思路是，p越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。但是，p的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p就不可信。好在我们已经知道，p是“二项分布”中某个事件的发生概率，因此我们可以计算出p的置信区间。所谓“置信区间”，就是说，以某个概率而言，p会落在的那个区间。比如，某个产品的好评率是80%，但是这个值不一定可信。根据统计学，我们只能说，有95%的把握可以断定，好评率在75%到85%之间，即置信区间是[75%, 85%]。

这样一来，排名算法就比较清晰了：

第一步，计算每个项目的“好评率”（即赞成票的比例）。

第二步，计算每个“好评率”的置信区间（以95%的概率）。

第三步，根据置信区间的下限值，进行排名。这个值越大，排名就越高。

这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。比如，A有8张赞成票，2张反对票；B有80张赞成票，20张反对票。这两个项目的赞成票比例都是80%，但是B的置信区间（假定[75%, 85%]）会比A的置信区间（假定[70%, 90%]）窄得多，因此B的置信区间的下限值（75%）会比A（70%）大，所以B应该排在A前面。

置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。

二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的是"正态区间"（Normal approximation interval），教科书里几乎都是这种方法。但是，它只适用于样本较多的情况（np > 5 且 n(1 ? p) > 5），对于小样本，它的准确性很差。

1927年，美国数学家Edwin Bidwell Wilson提出了一个修正公式，被称为“威尔逊区间”，很好地解决了小样本的准确性问题。

在上面的公式中，表示样本的“赞成票比例”，n表示样本的大小，表示对应某个置信水平的z统计量，这是一个常数，可以通过查表或统计软件包得到。一般情况下，在95%的置信水平下，z统计量的值为1.96。

威尔逊置信区间的均值为：

它的下限值为：

可以看到，当n的值足够大时，这个下限值会趋向。如果n非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于。实际上，起到了降低“赞成票比例”的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。

六、贝叶斯平均

或许会有人质疑说：“威尔逊区间”虽然它解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。比如：如果只有2个人投票，“威尔逊区间”的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。

我们暂时以IMDB为例，它是目前世界上比较大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为1分，最高为10分。

系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前250名的电影。

这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有10000个观众投票，一部小成本的文艺片只有100个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用“威尔逊区间”，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？

一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。

在排名页面的底部，IMDB给出了它的计算方法。

- WR， 加权得分（weighted rating）。

- R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。

- v，该电影的投票人数（votes）。

- m，排名前250名的电影的最低投票数（现在为3000）。

- C， 所有电影的平均得分（现在为6.9）。

仔细研究这个公式，你会发现，IMDB为每部电影增加了3000张选票，并且这些选票的评分都为6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有3000张选票，那么就都具备了进入前250名的评选条件；然后假设这3000张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。

这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。

把这个公式写成更一般的形式：

- C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。

- n，该项目的现有投票人数。

- x，该项目的每张选票的值。

- m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。

这种算法被称为“贝叶斯平均”（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了“贝叶斯推断”（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。

在这个公式中，m（总体平均分）是“先验概率”，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的“贝叶斯平均”就越接近算术平均，对排名的影响就越小。

因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。

马海祥博客点评：其实“贝叶斯平均”也是有缺点的，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有10个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有10个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是实际上电影A可能比电影B更值得看。

对于这个问题的解决思路，马海祥认为可以假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从“多项分布”（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，估计该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，本文就不深入解答了，感兴趣的朋友可以多多关注马海祥博客，我会逐步的跟大家解答这些问题的。

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